domingo, 13 de diciembre de 2009
lunes, 30 de noviembre de 2009
TEOREMAS BÁSICOS DEL CALCULO DIFERENCIAL
TEOREMAS BASICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
1. TEOREMA DE LOS EXTREMOS. Si f es una función continua definida en el intervalo cerrado, existe (por lo menos) un punto en el cual f toma el mayor valor, y existe (por lo menos) un punto donde f tome el menor valor. Este teorema afirma que toda función continua, definida en un intervalo cerrado, debe tener un punto en el cual la curva toma su valor máximo y también un punto en el cual la curva toma su valor mínimo.Ver figura 1.
2. TEOREMA DE ROLLE. Si una función f es continua sobre derivable sobre, y, f(a)= f(b) = 0, entonces existe por lo menos un numero c, tal que f’(c) = 0, es decir, un punto c donde la recta tangente es paralela al eje de las abscisas. Este teorema fue enunciado y demostrado por Michel Rolle.
Ejemplo: Dada la función f dada por y = 2x – 2(x)^3, determina los puntos c entre tales que f’(c) = 0
Verifiquemos que: f(1) = f(-1) = 0
f(1)= ?
f(-1)= ?
Encuentre la derivada de f, Haga f’(x) = 0,
para x = c, se tiene que c es mas o menos 1 sobre raiz de tres
Los dos valores de c se encuentran en el intervalo (-1,1). La figura 2, muestra las dos rectan tangentes
TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si una función f es continua sobre derivable sobre , entonces existe un número c en , tal que:
EJEMPLO. Sea la función . Determinar los números c donde la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por los puntos x = -1 y x = 3
Por el teorema del valor medio:
Luego -1 es la pendiente de la recta que pasa por los puntos -1 y 3.
Encontremos f’(x), entonces
Si existe un , se debe cumplir que f’(c) = -1.
Por lo tanto f’(c) = 2c-3 = -1. Entonces c = 1
Luego en c = 1, la recta tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos -1 y 3. Ver grafica.
TRAZADO DE GRAFICOS DE FUNCIONES REALES
Sea una función f derivable sobre, entonces:
CRITERIOS SDE LA PRIMERA DERIVADA
1. Si, para todo x en, entonces f es creciente en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es positiva, entonces la función es creciente
2. Si, para todo x en, entonces f es decreciente en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es negativa, entonces la función es decreciente
3. Si, para todo x en, entonces f es constante en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es cero, entonces la función no crece ni decrece
PUNTOS CRÍTICOS. Se llama punto crítico del dominio de una función f, a aquellos puntos donde la derivada es cero, o no existe. Es decir, c es un punto crítico si f’(c) = 0. De manera general un punto crítico es aquel donde la función cambio de creciente a decreciente (0 viceversa).
A la curvatura de una gráfica se le denomina concavidad. La función tiene concavidad hacia arriba
CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea una función f cuya segunda derivaba exista en el intervalo, entonces:
1. Si, para todo x en, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en. Es decir, si la derivada es positiva, entonces la curva es cóncava hacia arriba
2. Si, para todo x en, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en. Es decir, si la derivada es negativa, entonces la curva es cóncava hacia abajo
3. Si, para todo x en, entonces el criterio no decide. Es decir, no se puede decir a cerca de la concavidad.
PUNTOS DE INFLEXION
Un punto x = c es un punto de inflexión, si, en dicho punto. Un punto de inflexión es aquel en el cual la gráfica de la función cambia de concavidad.
Un punto crítico puede ser un punto de inflexión, un máximo o un mínimo.
MAXIMOS Y MINIMOS
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo absoluto en el punto x = c, si f(c) es el mayor valor que toma la función, es decir, si , para todo x en el dominio de f
Se dice que una función y = f(x) tiene un mínimo absoluto en el punto x = c, si f(c) es el mayor valor que toma la función, es decir, si, para todo x en el dominio de f
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo relativo en el punto x = c, si existe un intervalo que contiene a c y tal que , para todo x en el intervalo abierto.
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo relativo en el punto x = c, si existe un intervalo que contiene a c y tal que, para todo x en el intervalo abierto.
CRITERIOS PARA HALLAR MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Si c es un punto crítico de la función y = f(x), es decir, f’(c) = 0 y si la segunda derivada f’’(x) existe, entonces:
1. Si , f tiene un mínimo relativo en c
2. Si , f tiene un máximo relativo en c
GRAFICA DE FUNCIONES Graficar la función f(x) = x^3- 4x^2 - 3x – 4
1. Puntos Críticos
Derive la función e iguale la deriva a cero, es decir f’(x) = 0
Factorizando el trinomio se obtiene (3x+1)(x - 3) = 0 REALICELO!
Igualando a cero cada factor: 3x+1= 0 ó, x - 3 = 0, entonces: x = -1/3, o, x = 3
Para x = 3, entonces
Para x = -1/3, f(-1/3) = CALCULARLA!
Por lo tanto los puntos críticos son: ESCRÍBALOS
2. Intervalos donde la función es creciente y decreciente
Si f’(x) > 0. la función es creciente
Hagamos (3x+1)(x - 3) > 0. Al resolver la inecuación anterior se obtiene la solución:
RESOLVER LA INECUACION!
De acuerdo al criterio de la primera derivada, diga en que intervalos la función es creciente y decreciente en el intervalo. Escríbalos!
3. Puntos de Inflexión
Los puntos de inflexión son aquellos donde la segunda derivada es igual a cero, es decir, f’’(x) = 0
Así f’’(x) = 6x – 8, igualando a cero: 6x – 8 = 0
Por lo tanto el punto de inflexión es?
4. Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo
Si f´´(x) > 0. la función es cóncava hacia arriba. (Criterio de la segunda derivada)
Como f’’(x) = 6x – 8. Hacemos: 6x – 8 > 0
Luego la solución de la inecuación es? Encuentrela!
Encuentre la concavidad hacia arriba y hacia abajo. Escriba los intervalos
5. Máximos y Mínimos
Se reemplaza el valor de la abscisa de los puntos críticos en la segunda derivada, para hallar los máximos y mínimos (criterios de la segunda derivada), entonces:
Para x = 3, f’’(3) = 6(3) – 8 = 18-8=10 >0, cual es el máximo y el mínimo
6. GRAFICA. la siguiente es la gráfica realizada utilizando los criterios de la derivada.
1. TEOREMA DE LOS EXTREMOS. Si f es una función continua definida en el intervalo cerrado, existe (por lo menos) un punto en el cual f toma el mayor valor, y existe (por lo menos) un punto donde f tome el menor valor. Este teorema afirma que toda función continua, definida en un intervalo cerrado, debe tener un punto en el cual la curva toma su valor máximo y también un punto en el cual la curva toma su valor mínimo.Ver figura 1.
2. TEOREMA DE ROLLE. Si una función f es continua sobre derivable sobre, y, f(a)= f(b) = 0, entonces existe por lo menos un numero c, tal que f’(c) = 0, es decir, un punto c donde la recta tangente es paralela al eje de las abscisas. Este teorema fue enunciado y demostrado por Michel Rolle.
Ejemplo: Dada la función f dada por y = 2x – 2(x)^3, determina los puntos c entre tales que f’(c) = 0
Verifiquemos que: f(1) = f(-1) = 0
f(1)= ?
f(-1)= ?
Encuentre la derivada de f, Haga f’(x) = 0,
para x = c, se tiene que c es mas o menos 1 sobre raiz de tres
Los dos valores de c se encuentran en el intervalo (-1,1). La figura 2, muestra las dos rectan tangentes
TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si una función f es continua sobre derivable sobre , entonces existe un número c en , tal que:
EJEMPLO. Sea la función . Determinar los números c donde la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por los puntos x = -1 y x = 3
Por el teorema del valor medio:
Luego -1 es la pendiente de la recta que pasa por los puntos -1 y 3.
Encontremos f’(x), entonces
Si existe un , se debe cumplir que f’(c) = -1.
Por lo tanto f’(c) = 2c-3 = -1. Entonces c = 1
Luego en c = 1, la recta tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos -1 y 3. Ver grafica.
TRAZADO DE GRAFICOS DE FUNCIONES REALES
Sea una función f derivable sobre, entonces:
CRITERIOS SDE LA PRIMERA DERIVADA
1. Si, para todo x en, entonces f es creciente en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es positiva, entonces la función es creciente
2. Si, para todo x en, entonces f es decreciente en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es negativa, entonces la función es decreciente
3. Si, para todo x en, entonces f es constante en. Es decir, si la pendiente de la recta tangente es cero, entonces la función no crece ni decrece
PUNTOS CRÍTICOS. Se llama punto crítico del dominio de una función f, a aquellos puntos donde la derivada es cero, o no existe. Es decir, c es un punto crítico si f’(c) = 0. De manera general un punto crítico es aquel donde la función cambio de creciente a decreciente (0 viceversa).
A la curvatura de una gráfica se le denomina concavidad. La función tiene concavidad hacia arriba
CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea una función f cuya segunda derivaba exista en el intervalo, entonces:
1. Si, para todo x en, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en. Es decir, si la derivada es positiva, entonces la curva es cóncava hacia arriba
2. Si, para todo x en, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en. Es decir, si la derivada es negativa, entonces la curva es cóncava hacia abajo
3. Si, para todo x en, entonces el criterio no decide. Es decir, no se puede decir a cerca de la concavidad.
PUNTOS DE INFLEXION
Un punto x = c es un punto de inflexión, si, en dicho punto. Un punto de inflexión es aquel en el cual la gráfica de la función cambia de concavidad.
Un punto crítico puede ser un punto de inflexión, un máximo o un mínimo.
MAXIMOS Y MINIMOS
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo absoluto en el punto x = c, si f(c) es el mayor valor que toma la función, es decir, si , para todo x en el dominio de f
Se dice que una función y = f(x) tiene un mínimo absoluto en el punto x = c, si f(c) es el mayor valor que toma la función, es decir, si, para todo x en el dominio de f
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo relativo en el punto x = c, si existe un intervalo que contiene a c y tal que , para todo x en el intervalo abierto.
Se dice que una función y = f(x) tiene un máximo relativo en el punto x = c, si existe un intervalo que contiene a c y tal que, para todo x en el intervalo abierto.
CRITERIOS PARA HALLAR MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Si c es un punto crítico de la función y = f(x), es decir, f’(c) = 0 y si la segunda derivada f’’(x) existe, entonces:
1. Si , f tiene un mínimo relativo en c
2. Si , f tiene un máximo relativo en c
GRAFICA DE FUNCIONES Graficar la función f(x) = x^3- 4x^2 - 3x – 4
1. Puntos Críticos
Derive la función e iguale la deriva a cero, es decir f’(x) = 0
Factorizando el trinomio se obtiene (3x+1)(x - 3) = 0 REALICELO!
Igualando a cero cada factor: 3x+1= 0 ó, x - 3 = 0, entonces: x = -1/3, o, x = 3
Para x = 3, entonces
Para x = -1/3, f(-1/3) = CALCULARLA!
Por lo tanto los puntos críticos son: ESCRÍBALOS
2. Intervalos donde la función es creciente y decreciente
Si f’(x) > 0. la función es creciente
Hagamos (3x+1)(x - 3) > 0. Al resolver la inecuación anterior se obtiene la solución:
RESOLVER LA INECUACION!
De acuerdo al criterio de la primera derivada, diga en que intervalos la función es creciente y decreciente en el intervalo. Escríbalos!
3. Puntos de Inflexión
Los puntos de inflexión son aquellos donde la segunda derivada es igual a cero, es decir, f’’(x) = 0
Así f’’(x) = 6x – 8, igualando a cero: 6x – 8 = 0
Por lo tanto el punto de inflexión es?
4. Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo
Si f´´(x) > 0. la función es cóncava hacia arriba. (Criterio de la segunda derivada)
Como f’’(x) = 6x – 8. Hacemos: 6x – 8 > 0
Luego la solución de la inecuación es? Encuentrela!
Encuentre la concavidad hacia arriba y hacia abajo. Escriba los intervalos
5. Máximos y Mínimos
Se reemplaza el valor de la abscisa de los puntos críticos en la segunda derivada, para hallar los máximos y mínimos (criterios de la segunda derivada), entonces:
Para x = 3, f’’(3) = 6(3) – 8 = 18-8=10 >0, cual es el máximo y el mínimo
6. GRAFICA. la siguiente es la gráfica realizada utilizando los criterios de la derivada.
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